順列組み合わせの勉強

ちょくちょく必要になるたびに忘れてるので自習。ブログの恥は書き捨て。

方法

おもに高校数学の基礎問題というサイトを読み進め、適宜WikipediaおよびGoogleのお世話になりながら。
ゆっくり自分の言葉で考える。

円順列

例1. 4人の生徒が円形のテーブルのまわりに座るとき、座り方は何通りあるか.

誰も座っていない4つの椅子に、1人ずつ座らせていくと考える。
まず1人目は、4つの椅子のうちどれに座ってもいいので4通り考えられる。
次に2人目は、1人目が座った椅子以外の椅子に座らなければならないので、3通りある。
3人目は2通り、4人目は1通り座り方がある。
よって全体の座り方のパターンは $4\times3\times2\times1(4!)$ 通りあるように思える。
しかしテーブルは円形で上下左右の区別がないため、回転させても同じ座り順になるパターンを除く必要がある。
1パターンの座り順に対して4つの回転パターンがあるため、座り方のパターンは $4!/4$ 通りである。
一般に、N人の生徒を円形テーブルの周りに座らせる座らせ方は、 $(N-1)!$ パターンである。

さすがにこれは簡単だし回りくどいか。

じゅず順列

例2. ダイヤ，サファイヤ，ルビー，水晶の４種類の宝石を使って首飾りを作るとき，何通りの首飾りができるか

円順列と考え方は同じだが、裏返しも考慮して $(N-1)!/2$ 通りとなる。

問題

Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇの７人が卓のまわりにすわるとき，Ｄ，ＦがともにＡと隣り合うような座り方は何通りあるか.（京都府大）

考え方.
(D-A-F),B,C,E,Gの5人がいると考え、並び順(5-1)!を計算する。
(D-A-F)はDとFを入れ替えるパターン(2)を考慮。
よって答えは $(5-1)!\times2 = 48$

正四面体の４面を赤，青，黄，緑の４色で塗り分ける方法は何通りあるか.（龍谷大）

ヒント見ないと分からなかった。頭固い。
正多面体の塗り分けなどが参考になる。「多面体塗り分け」でググっただけだけど。

組分わせ・順列

並び方を区別しないのが組み合わせ、区別するのが順列。
n個のなかから異なるr個を選ぶ方法は、
$\begin{eqnarray}{}_n P _r\end{eqnarray} = \frac{n!}{n-r}$
さらに並び替えを考慮しない場合は、
$\begin{eqnarray}{}_n C _r\end{eqnarray} = \frac{\begin{eqnarray}{}_n P _r\end{eqnarray}}{r!}$
である。